Κωνικές τομές και ευθεία στο άπειρο:
Θα ορίσουμε τις κωνικές τομές μ’ έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο που θα μας επιτρέψει μια διαφορετική κατανόησή τους μέσω της έννοιας του απείρου.
Ορισμός: Στο επίπεδο εφοδιασμένο μ’ ένα σημείο αναφοράς μια κωνική τομή είναι το σύνολο των σημείων που επαληθεύουν μια ομογενής εξίσωση δευτέρου βαθμού.
Συντεταγμένες και σημεία στο άπειρο:
Ορίζουμε επίσης τις συντεταγμένες ενός σημείου στο επίπεδο με μια τριάδα αριθμών
ώστε να μπορούμε να αλγεβροποιήσουμε τα σημεία που βρίσκονται στο άπειρο.
Με αυτή τη γραφή ένα σημείο στο επίπεδο δεν ορίζεται πια μονοσήμαντα, για παράδειγμα το (2,3) γράφεται (2,3,1),(4,6,2),(-6,-9,-3),... Έστω
τα σημεία στον άξονα των
x με εξίσωση
y
= 0. Προφανώς θα είναι της μορφής (X0,0,1).
Τότε το σημείο που βρίσκεται στο άπειρο πάνω σ’ αυτή την ευθεία είναι το (Χ0,0,0)
αφού
Δηλαδή 2 παράλληλες ευθείες τέμνονται στο άπειρο σ’ ένα κοινό σημείο που ονομάζουμε διεύθυνση. Η διεύθυνση αυτή είναι κοινή σε κάθε παράλληλες ευθείες και ευρύτερη από την έννοια της διευθύνσεως που γνωρίζαμε ως τώρα. Το κοινό αυτό σημείο ορίζει κατά κάποιο τρόπο μια κλάση ισοδυναμίας μεταξύ των παράλληλων ευθειών.
Η ευθεία στο άπειρο: Ας
βρούμε τώρα την εξίσωση της ευθείας του απείρου. Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της
μορφής
ax+by+c
= 0
Οι 3 κωνικές τομές: Η
γενική εξίσωση μιας κωνικής τομής σύμφωνα με τον ορισμό που διατυπώσαμε και τις
συντεταγμένες που ορίσαμε είναι
C Άρα η
τομή της κωνικής
C με την ευθεία Ζ = 0 είναι
Θεωρούμε την διακρίνουσα δ αυτής της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Για δ > 0 η κωνική έχει 2 σημεία στο άπειρο οπότε πρόκειται για υπερβολή. Για δ = 0 η κωνική έχει 1 σημείο στο άπειρο οπότε πρόκειται για παραβολή. Για δ < 0 η κωνική δεν έχει σημεία στο άπειρο οπότε πρόκειται για έλλειψη. Παρακάτω φαίνονται γραφικά οι 3 κωνικές τομές.
Τα παραπάνω γραφήματα δείχνουν την ευθεία του απείρου σε σχέση με τις 3 κωνικές τομές. Διαισθητικά εύκολα καταλαβαίνουμε ότι η έλλειψη δεν έχει σημεία στο άπειρο. Για την υπερβολή το πράγμα δυσκολεύει. Οι 2 κλάδοι της υπερβολής έχουν ένα κοινό σημείο στο άπειρο γι’ αυτό έχει 2 κι όχι 4 σημεία στο άπειρο. Αν συμβολίσουμε με Α1 και Α2 τα 2 σημεία αυτά. Ακολουθεί το γράφημα μιας υπερβολής με τα 2 σημεία της στο άπειρο.
Βλέπουμε δηλαδή ότι η υπερβολή πάει στο άπειρο και επιστρέφει από την άλλη πλευρά. Η ευθεία του απείρου συνεπώς δεν είναι «ευθεία» αλλά «καμπύλη» ώστε να περιέχει τα 2 σημεία Α1 και Α2. Για την παραβολή οι 2 κλάδοι της έχουν το ίδιο σημείο στο άπειρο. Ο ένας κλάδος της παραβολής κατά κάποιο τρόπο πάει στο άπειρο συναντά την ευθεία στο άπειρο κι επιστρέφει από τον δεύτερο κλάδο.
Εκφυλισμένες κωνικές τομές:
Θεωρούμε την εξίσωση
C
Μέσω των παραδειγμάτων που ακολουθούν θα δούμε γιατί οι εκφυλισμένες κωνικές τομές πέρνουν την παραπάνω μορφή.
Παραδείγματα: 1)C1
πρόκειται για υπερβολή
αφού έχει 2 σημεία στο άπειρο.
Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι η υπερβολή αυτή είναι εκφυλισμένη αφού η σχέση (Χ+Υ+Ζ).(Χ-Υ+Ζ) = 0 ισχύει αν Χ+Υ+Ζ = 0 ή Χ-Υ+Ζ = 0 δηλαδή αν y = x+1 ή y = -x-1. Δηλαδή το γράφημα της C1 είναι 2 τεμνόμενες ευθείες. Προφανώς πρόκειται για εκφυλισμένη υπερβολή. Εξάλλου το αποτέλεσμα επαληθεύεται αφού Δ = 0. 2)
C2
Προφανώς πρόκειται για έλλειψη αφού δεν έχει σημεία στο
άπειρο (δεν έχει σημεία τομής με την ευθεία
d).
Όμως η
C2
γράφεται και
C2 3)
C3
Δηλαδή έχουμε Χ+Υ+Ζ = 0
Πολικές,εφαπτομένες,ασύμπτοτες,κέντρο: Η πολική σ’ένα σημείο P που συμβολίζεται Pop είναι η ευθεία που συνδέει 2 σημεία Α και Β όπου τα Α,Β τα 2 σημεία που βρίσκονται πάνω στην εφαπτομένη του γραφήματος που περνάει από το P. Το σημείο P ονομάζεται ο πόλος της ευθείας Pop.
‘Έστω
C3 Όμως όσο το σημείο
P
πλησιάζει την κωνική τομή η πολική τείνει να γίνει εφαπτομένη. Όταν το σημείο
P
βρίσκεται πάνω στην κωνική τομή τότε η πολική είναι η εφαπτομένη. Άρα η εξίσωση
της εφαπτομένης είναι
Οι πολικές εκτός από την εύρεση της εξίσωσης της
εφαπτομένης σ’ ένα σημείο μας βοηθάν στο να βρούμε και την εξίσωση της
ασύμπτωτης. Αν πάρουμε το σημείο
P να βρίσκεται στο άπειρο τότε η ασύμπτωτη θα είναι η
πολική στο σημείο αυτό. Η ασύμπτωτη είναι δηλαδή η εφαπτόμενη στο σημείο στο
άπειρο (ή στα σημαία στο άπειρο) της κωνικής τομής. Εφ’ όσον ο όρος
Επίσης ξέρουμε ότι το κέντρο της κωνικής τομής είναι το
σημείο τομής των ασυμπτότων. Δηλαδή είναι το σημείο που επαληθεύει τις εξισώσεις
Παρατηρήσεις: -Αν η πολική ενός σημείου P διέρχεται από ένα σημείο Q, τότε η πολική του Q διέρχεται από το P. -Αν το σημείο P βρίσκεται μέσα στην κωνική τομή τότε η πολική τέμνει την κωνική τομή σε μιγαδικά σημεία. Άρα μπορούμε να ορίσουμε το εσωτερικό μιας κωνικής τομής ως το σύνολο των σημείων που οι πολικές τους δεν τέμνουν την κωνική τομή σε πραγματικά σημεία. -Έστω ότι μια κωνική τομή έχει ασύμπτωτες τις As1 και As2 και σημεία στο άπειρο τα A1 και Α2. Προφανώς η As1 είναι η πολική του Α1 και η As2 είναι η πολική του Α2. Η τομή των As1 και As2 (που είναι το κέντρο) ανήκει στην πολική του Α1 και στην πολική του Α2. Άρα η πολική του κέντρου διέρχεται από το Α1 και από το Α2. Συνεπώς το κέντρο της κωνική τομής είναι ο πόλος της ευθείας στο άπειρο αφού η πολική του κέντρου είναι η ευθεία στο άπειρο (εφ’ όσον 2 σημεία στο άπειρο ορίζουν την ευθεία στο άπειρο). -Έστω οι ευθείες Α και Β με σημεία στο άπειρο (1,ω1,0) και (1,ω2,0).Η διεύθυνση των Α και Β αντιστοίχως είναι w1(1,ω1,0) και w2(1,ω2,0).Αν Α κάθετο στο Β τότε 1+ω1.ω2 = 0 από ιδιότητα εσωτερικού γινομένου. Με τον παραπάνω τρόπο μπορούμε εύκολα να βρούμε τους άξονες της κωνικής τομής εφ’ όσον ξέρουμε ότι είναι κάθετοι μεταξύ τους κι άρα αν το σημείο στο άπειρο του πρώτου άξονα είναι (1,ω,0), το σημείο στο άπειρο του δεύτερου θα είναι (-ω,1,0) (μία δυνατή γραφή). -Τέλος για την εύρεση των κορυφών της κωνικής τομής ξέρουμε ότι είναι η τομή των αξόνων της κωνικής με την κωνική.
Παραδείγματα: 1)Έστω
C
Πρώτον ομογενοποιούμε την εξίσωση,C
Βρίσκουμε τα σημεία στο άπειρο .
Οπότε
2) Έστω
C Το κέντρο βρίσκεται λύνοντας το (Σ)
Για την διάμετρο D1 ξέρουμε ότι διέρχεται από το κέντρο και ότι είναι παράλληλη στην ευθεία Ε άρα έχει την ίδια διεύθυνση με αυτή την ευθεία και το ίδιο σημείο στο άπειρο, έστω Α. Μπορούμε εύκολα να τη βρούμε εφ’ όσον ξέρουμε 2 σημεία της. Για τη διάμετρο D2 ξέουμε ότι είναι η πολική του σημείου στο άπειρο της D1 άρα
Συμπέρασμα: Με την προσέγγιση αυτή μπορούμε να έχουμε μια νέα αντίληψη των κωνικών τομών και τις έννοιας του απέιρου. Σε διαφορετικές γεωμετρίες το άπειρο μπορεί να μην είναι πλέον ευθεία αλλά σημείο. Το πως θα θεωρήσουμε γεωμετρικά το άπειρο είναι λοιπόν σύμβαση κι εμείς διαλέξαμε το άπειρο να είναι ευθεία διότι μας βόλευε στην ανάλυση των κωνικών τομών. Επίσης θεωρήσαμε έναν χώρο στον οποίο δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείθες με την έννοια ότι συναντούνται στο άπειρο. Σε άλλα κεφάλαια της γεωμετρίας βέβαια θεωρούμε ότι υπάρχουν παράλληλες ευθείες. Η εργασία αυτή αποτελεί μια εισαγωγή στην προσέγγιση των κωνικών τομών μέσω της ευθείας του απείρου. Τα κυριότερα θεωρητικά σημεία της θεωρίας όπως διάκριση του είδους της κωνικής τομής, η εύρεση ασύμπτωτων και εφαπτόμενων έχουν συμπεριληφθεί. Η βαθύτερη κατανόηση του κεφαλαίου θα επιτευχθεί αν λυθούν οι ασκήσεις.
Όποιος έχει όρεξη, απορίες ή οποιαδήποτε ερώτηση ας μου στείλει mailστη διεύθυνση
|